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Números Complexos em C#

Neste artigo vamos mostrar como criar e efetuar operações aritméticas básicas com Números Complexos em C#.

O Namespace System.Numerics

O namespace System.Numerics contém diversos tipos numéricos usados para complementar os tipos primitivos, como Int32 e Double, definidos no framework .NET.

Dentre as estruturas implementadas pelo namespace System.Numerics podemos citar: Plane (plano no espaço tridimensional), Vector2 (vetor com dois valores), Matrix4x4 (Matriz 4×4) e Complex (números complexos – objeto deste artigo), entre outras.

A Estrutura Complex

A estrutura Complex, do namespace System.Numerics, permite representar números complexos e realizar diversas operações com esses números. Vamos começar mostrando como criar uma instância de um número complexo em C#.

Como criar uma instância de um número complexo

Para criar uma instância de um número complexo em C# devemos passar dois valores do tipo Double para o construtor. O primeiro valor representa a parte real do número complexo, e o segundo valor representa a parte imaginária.

Exemplo: Vamos criar o número complexo 2+5i em C#:

Complex c1 = new Complex(2,5);
// Mostrar o valor do número complexo (forma padrão C#):
Console.WriteLine(c1);

Propriedades de Complex

Podemos exibir as partes real e imaginária de um número complexo com as respectivas propriedades real e imaginary de um objeto Complex:

Console.WriteLine("Parte real: " + c1.Real) ;
Console.WriteLine("Parte imaginária: " + c1.Imaginary);

Obs.: As propriedades Real e Imaginary são somente-leitura, de modo que não é possível modificar os valores de um objeto Complex já criado. Os métodos que executam operações em objetos Complex retornam um novo número complexo, caso o tipo de retorno seja Complex também.

É possível exibir o número complexo no formato matemático a + bi aplicando formatação com o método Format da classe String, como segue:

// Exibir o número no formato a+bi:
Console.WriteLine(String.Format("{0} + {1}i", c1.Real, c1.Imaginary));

Operações com números complexos em C#

A estrutura Complex possui operadores que permitem realizar diversas operações aritméticas com números complexos, tais como adição, subtração, multiplicação, divisão e negação. Além disso, inclui métodos para executar outras operações numéricas, como exponenciação, raiz quadrada e valor absoluto de um número complexo, além de operações trigonométricas.

Exemplo: Vamos criar e somar dois números complexos. Para isso usaremos a operação Add(num1,num2), onde:

• num1 = primeiro número complexo a adicionar
• num2 = segundo número complexo a adicionar

A adição de números complexos é realizada adicionando-se cada parte separadamente, de acordo com a fórmula:

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

Esta operação em C# retorna um valor do tipo Complex. Vejamos um exemplo:

Complex c1 = new Complex(2,5);
Complex c2 = new Complex(3, 11);
Complex c3 = Complex.Add(c1, c2);
Console.WriteLine("Soma: " + String.Format("{0} + {1}i", c3.Real, c3.Imaginary));

Exemplo 02: Multiplicação de números complexos em C#. Cada elemento do primeiro número é multiplicado por cada elemento do segundo número, segundo a fórmula:

(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi2

Vamos multiplicar os números 2 + 5i e 3 + 11i em C#. Para isso usaremos o método Multiply(num1,num2), que recebe como argumentos dois números complexos e retorna como resultado o produto entre eles:

Complex c1 = new Complex(2,5);
Complex c2 = new Complex(3, 11);
Complex c3 = Complex.Multiply(c1, c2);
Console.WriteLine("Produto: " + String.Format("{0} + {1}i", c3.Real, c3.Imaginary));

Exemplo 03: Agora vamos realizar uma subtração de números complexos. Para isso usaremos a operação Subtract(num1,num2), onde:

• num1 = primeiro número complexo a adicionar
• num2 = segundo número complexo a adicionar

A subtração de números complexos é realizada subtraindo-se cada parte separadamente, de acordo com a fórmula:

(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i

Vamos ao um exemplo. Iremos subtrair o valor 1 + 3i de 3 + 5i:

Complex c1 = new Complex(1,3);
Complex c2 = new Complex(3, 5);
Complex c3 = Complex.Subtract(c2, c1);
Console.WriteLine("Subtração: " + String.Format("{0} + {1}i", c3.Real, c3.Imaginary));

Exemplo 04: Vamos determinar o conjugado de um número complexo. Para isso, vamos empregar o método Conjugate(complex), que recebe como argumento um número complexo e retorna outro complexo como resultado.

O conjugado de um complexo é o número com o sinal trocado em sua parte imaginária. Vamos determinar o conjugado de 2 + 7i em C#:

Complex c1 = new Complex(1,3);
Complex conj = Complex.Conjugate(c1);
Console.WriteLine("Conjugado de {0}: {1}", String.Format("{0} + {1}i", c1.Real, c1.Imaginary), String.Format("{0} {1}i", conj.Real, conj.Imaginary));

O conjugado de um complexo é empregado, por exemplo, para auxiliar na operação de divisão entre números complexos, que será nosso próximo exemplo.

Exemplo 05: Finalmente, vamos efetuar uma divisão entre dois complexos em C#. Usaremos o método Divide(num1,num2) para realizar tal operação, o qual divide o complexo num1 pelo complexo num2.

Vamos realizar a seguinte divisão de complexos com C#:

Código:

Complex c1 = new Complex(5, 2);
Complex c2 = new Complex(7, 4);
Complex cDiv = Complex.Divide(c1,c2);
Console.WriteLine("Resultado da divisão: {0}", String.Format("{0} + {1}i", cDiv.Real, cDiv.Imaginary));

É isso aí! A estrutura Complex em C# possui inúmeros outros métodos que implementam operações matemáticas com números complexos, se sua documentação oficial por ser consultada aqui.

No próximo artigo vamos abordar algumas operações mais avançadas que podem ser realizadas com a estrutura Complex. Até!