Introdução aos Números Complexos

Introdução ao Números complexos

Os números, tais como conhecemos e usamos no dia-a-dia, incluindo valores como 15, -25, 0,67, √6, 97/13 e π, são conhecidos como números reais. Denotamos a família de números reais com o símbolo .

Uma característica dos números reais é de que quando um número real é elevado ao quadrado sempre obtemos um resultado positivo, independente do número em si ser positivo ou negativo. Assim, 52 = 25 e -52 = 25 também.

Em algumas circunstâncias, precisamos fazer cálculos para os quais os números reais não são suficientes – por exemplo, o cálculo pode ser extremamente complicado de se realizar, o até mesmo impossível.

Um exemplo clássico e banal é o cálculo das raízes de uma equação do segundo grau, na forma ax2+bx+c = 0, que é resolvida com a seguinte fórmula:

Fórmula da equação do segundo grau

O problema é que, às vezes, o valor de b2-4ac é um número negativo, e precisamos calcular a raiz quadrada desse número na fórmula. Mas, como calcular raízes de números negativos? No domínio dos números reais isso é impossível.

Isso significa então que esse tipo de equação pode não ter solução? Não. Na verdade, é possível resolver a equação, mesmo com raízes de números negativos – desde que usemos o conceito de números complexos.

O que é um número complexo

Para entendermos o que é um número complexo vamos realizar algumas definições.

Números imaginários: são números que, ao serem elevados ao quadrado, retornam um resultado negativo..

Por exemplo: o valor 
Raiz quadrada de -20

é imaginário porque, ao ser elevado ao quadrado, retorna o valor -20.

Número unitário imaginário: Definimos o número unitário imaginário i como sendo a raiz quadrada de -1, ou seja:

Número imaginário i - números complexos

Isso significa que se elevarmos i ao quadrado, obteremos o valor -1, ou seja:

i2 = -1

Exemplos de números imaginários:

  • 3i
  • 3,4i
  • 4i/5
  • -63i
  • (√5)i

Números Complexos: Um número complexo z é uma combinação de um número real com um número imaginário, escrito no formato:

z = a + bi

onde a é a parte real do número, e bi é a parte imaginária (b é um número real), representadas por Re() e Im(), como segue:

Re(z) = a
Im(z) = bi

Exemplos de números complexos:

  • 2 + i
  • 22 + 3i
  • 3,4 – 6i
  • -5 + 0,5i
  • 0 + 12i

Na prática, um número real nada mais é que um número complexo, porém sem sua parte imaginária. Denotamos o conjunto dos números complexos por ℂ e, assim, podemos dizer que:

ℝ ⊂ ℂ

que significa: “ está contido em

Da mesma forma, um número imaginário é um número complexo, porém sem sua parte real.

Aplicações dos números complexos

Os números complexos encontram diversas aplicações, em inúmeras áreas, tais como:

  • Eletromagnetismo
  • Mecânica quântica
  • Processamento de sinais
  • Cartografia
  • Geometria
  • Química
  • Cálculo de Circuitos Elétricos

e muitas outras.

Exemplo

Vamos resolver a equação de segundo grau (quadrática) x2 + 5x + 10 = 0.

Resolução:

Exemplo de cálculo com números complexos 01

Resolução números complexos 02

resolvendo problema com números complexos

exercício números complexos resolvido

Como pudemos ver, mesmo nos deparando com uma raiz de número negativo na equação (raiz de -15), foi possível resolver o problema no domínio dos números complexos.

Na próxima lição vamos apresentar diversas operações aritméticas que podem ser realizadas com os números complexos, tais como soma, multiplicação e divisão, entre outras.

Referências

Laforest, M. The Mathematics of Quantum Mechanics. University of Waterloo. 2015.

 

Sobre Fábio dos Reis (1405 Artigos)
Fábio dos Reis trabalha com tecnologias variadas há mais de 25 anos, tendo atuado nos campos de Eletrônica, Telecomunicações, Programação de Computadores e Redes de Dados. É um entusiasta de Unix, Linux e Open Source em geral, adora Eletrônica e Música, e estuda idiomas, além de ministrar cursos e palestras sobre diversas tecnologias em São Paulo e outras cidades do Brasil.
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