Tweet

Sistemas de Numeração

Os computadores e equipamentos eletrônicos (e as pessoas também!) usam sistemas para representar números, chamados de Sistemas de Numeração. Todo sistema de numeração possui duas características básicas:

• Cada dígito em um número possui um valor posicional, que depende do sistema de numeração empregado (por exemplo, em um sistema decimal, o valor é uma potência de 10);
• Cada sistema possui um conjunto de valores que são válidos em seu domínio para representação numérica. Esses valores válidos são denominados Coeficientes. Por exemplo, no sistema base 10 (decimal), os valores válidos são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

Vejamos um exemplo de um número no sistema decimal de numeração: o número 6754. Vamos representá-lo como 6754₁₀ – o número 10 subscrito indica a base na qual o número está sendo representado (no caso, base 10). Esse número pode ser decomposto da seguinte forma:

6×10³ + 7×10² + 5×10¹ + 4×10⁰ 

6000 + 700 + 50 + 4 = 6754

Note que cada dígito possui um valor que depende de sua posição dentro do número. O dígito 7, por exemplo, vale na verdade 700, pois está na posição 03 (contando da direita para a esquerda, sempre), o que significa que seu valor é, na verdade, 7 vezes a base 10 elevada ao quadrado (terceira posição, começando a contagem da posição zero).

E desta forma podemos representar e decompor todos os números conhecidos no sistema decimal. Porém, os computadores e outros equipamentos e dispositivos eletrônicos não trabalham geralmente com o sistema decimal de numeração, que é reservado para nós, humanos; outros sistemas são empregados por esses equipamentos, como os que estudaremos a seguir.

Sistema Binário de Numeração

Ou base 2. O sistema binário é a linguagem natural dos computadores e dispositivos digitais, e consiste em apenas dois valores distintos (dígitos): o e 1. Chamamos a esses valores de “bits”, onde “bit” é a contração das palavras “Binary Digit”, ou dígito binário.

O sistema binário também é posicional, com seus valores sendo potências de 2, e o conjunto de valores válidos no sistema compreende os dígitos 0 e 1.

Vejamos um exemplo de um número binário:

1010_2.

Para que não haja confusão entre números representados no sistema decimal e números binários, usamos o índice 2 subscrito para indicar o sistema base 2. De outra forma, não saberíamos se o número em questão é um valor binário ou se é a representação do valor mil e dez no sistema decimal.

Vamos decompor esse número binário e descobrir seu valor equivalente no sistema decimal:

1	0	1	0
1×23	0x22	1×21	0x20
8	0	2	0

8 + 0+ 2 + 0 = (10)₁₀

Portanto, o número binário 1010₂ (lê-se “um zero um zero”) equivale ao número decimal 10 (dez). Veremos mais sobre conversões de base adiante no curso.

Cada posição em um número binário é um bit. Assim, um número binário como 110110₂  é um número de seis bits, pois possui seis posições (dígitos) binários. Se tivermos um número com, por exemplo, quatro bits, poderemos representar os valores de zero até 1111₂  que equivale a 15 no sistema decimal. Ou seja, com 4 bits podemos representar 16 números distintos (de 0 a 15), pois 2⁴ = 16.

Assim, com n bits podemos efetuar a contagem de 2ⁿ números distintos. E o valor máximo da contagem será sempre 2ⁿ-1, pois a contagem se inicia em zero.

No geral, em eletrônica, usamos dígitos binários para representar dois níveis de tensão elétrica: nível alto e nível baixo, representados respectivamente pelos bits 1 e 0.

Agrupando bits

A memória nos computadores armazena os números binários em valores múltiplos de 8 bits (2³). Desta forma, chamamos um número de 8 bits de Byte, um número de 16 bits de Half Word e um número de 32 bits, Word. Podemos também atribuir um nome a um agrupamento de 4 bits: Nibble.

Sistema Hexadecimal

O sistema binário é altamente eficiente para uso em dispositivos digitais, mas pode ser complexo para nós, humanos, no quesito inteligibilidade. Para simplificar o trabalho com valores binários, podemos usar um sistema numérico relacionado chamado de Sistema Hexadecimal, o qual usa a base 16 (2⁴), ou seja, 16 dígitos para representar os números.

Os coeficientes válidos no sistema hexadecimal de numeração são:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Usamos os algarismos de 0 a 9 e as letras do alfabeto latino da A a F para representar os valores numéricos de 0 a 15.

Representação no Sistema Hexadecimal

Podemos representar os números hexadecimais de duas formas principais:

(hhhh)₁₆ ou 0xhhhh

Exemplo: 0xA23E ⇔(A23E)₁₆

Decompondo esse valor teremos:

A	2	3	E
10×163	2×162	3×161	14×160
40960	512	48	14

Portanto: A23E₁₆ = 40960 + 512 + 48 + 14 = 41534₁₀

Veja que para o dígito A usamos o valor 10 no cálculo, e para o dígito E usamos o valor 14. Mais à frente temos uma tabela de equivalência de todos os valores decimais, hexadecimais e binários (até 4 bits).

Usamos a notação hexadecimal para representar, entre outros:

• Números em geral
• Endereços de memória
• Conteúdo de registradores ou da memória (valores armazenados em si).
• Códigos de cores RGB

O uso do sistema hexadecimal simplifica muito a representação de valores do sistema binário. Por exemplo, o número hexadecimal mostrado anteriormente, se representado em binário, ficaria assim:

A23E₁₆ ⇔ 1010001000111110₂ 

Um dígito hexadecimal equivale a um nibble (4 bits) do sistema binário. A tabela a seguir mostra um mapeamento entre valores decimais, binários e hexadecimais:

Decimal	Hexadecimal	Binário
0	0	0000
1	1	0001
2	2	0010
3	3	0011
4	4	0100
5	5	0101
6	6	0110
7	7	0111
8	8	1000
9	9	1001
10	A	1010
11	B	1011
12	C	1100
13	D	1101
14	E	1110
15	F	1111

Na próxima lição vamos mostrar técnicas de conversão de bases numéricas, de modo que você será capaz de converter números entre os sistemas binário, decimal e hexadecimal. Até lá!.