Neste tutorial vamos criar um pequeno programa em Fortran para exibir os elementos de uma progressão geométrica, com base em parâmetros fornecidos pelo usuário em tempo de execução.

O que é uma Progressão Geométrica?

Progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada de “razão”.

Matematicamente, uma progressão geométrica pode ser representada da seguinte forma:

a, ar, ar², ar³, …

Onde:

• a é o primeiro termo da progressão.
• r é a razão da progressão, que é um número constante.
• ar é o segundo termo da progressão.
• ar² é o terceiro termo da progressão.

E assim por diante.

Em uma progressão geométrica, a razão r determina como os termos subsequentes são calculados a partir do termo anterior. Se r for maior que 1, a progressão será crescente, e se r estiver entre -1 e 1 (exclusivamente), a progressão será decrescente.

Se r for igual a 1, todos os termos serão iguais, formando uma sequência constante.

Onde usamos Progressão Geométrica?

As progressões geométricas são usadas em várias áreas da matemática e das ciências em geral para modelar crescimento exponencial, decaimento e fenômenos relacionados à multiplicação ou divisão por uma constante fixa em cada etapa.

São frequentemente aplicadas em finanças, física, biologia, engenharia e muitos outros campos.

Vejamos como implementar um programa em linguagem Fortran que nos permite calcular e exibir os termos de uma progressão geométrica, com base nos valores de termo inicial e razão informados pelo usuário.

Código

PROGRAM ProgressaoGeometrica

  IMPLICIT NONE

  INTEGER :: n
  REAL(8) :: a, r
  INTEGER :: i

  WRITE (*,*) 'Programa para calcular e mostrar uma Progressão Geométrica'
  WRITE (*,*) 'Digite o primeiro termo (a):'
  READ(*, *) a
  WRITE (*,*) 'Digite a razão (r):'
  READ(*, *) r
  WRITE (*,*) 'Digite o número de termos (n):'
  READ(*, *) n

  IF (n <= 0) THEN
    WRITE (*,*) 'O número de termos deve ser maior que zero.'
    STOP
  END IF

  WRITE (*,*) 'Os', n, 'primeiros termos da Progressão Geométrica são:'

  DO i = 1, n
    WRITE (*,*) 'Termo ', i, ': ', a
    a = a * r ! Calcula o próximo termo
  END DO

END PROGRAM ProgressaoGeometrica

Teste

Programa para calcular e mostrar uma Progressão Geométrica
Digite o primeiro termo (a):
5
Digite a razão (r):
2
Digite o número de termos (n):
10

Os 10 primeiros termos da Progressão Geométrica são:
Termo 1 : 5.0000000000000000 
Termo 2 : 10.000000000000000 
Termo 3 : 20.000000000000000 
Termo 4 : 40.000000000000000 
Termo 5 : 80.000000000000000 
Termo 6 : 160.00000000000000 
Termo 7 : 320.00000000000000 
Termo 8 : 640.00000000000000 
Termo 9 : 1280.0000000000000 
Termo 10 : 2560.0000000000000 

Funcionamento do programa Fortran para calcular e mostrar uma progressão geométrica

IMPLICIT NONE: Essa instrução força a declaração explícita de todas as variáveis, que é uma boa prática para evitar erros de tipo.

Logo a seguir temos a declaração das variáveis usadas no programa:

• INTEGER :: n: Essa variável inteira será usada para armazenar o número de termos da progressão geométrica.
• REAL(8) :: a, r: a é o primeiro termo da progressão e r é a razão. Ambos são números reais com precisão dupla (REAL(8)).
• INTEGER :: i: Essa variável será usada como um contador em um loop.

Configuramos então algumas mensagens de  introdução

WRITE (*,*) ‘Programa para calcular e mostrar uma Progressão Geométrica’: Isso exibe uma mensagem informativa para o usuário no console.
WRITE (*,*) ‘Digite o primeiro termo (a):’, WRITE (*,*) ‘Digite a razão (r):’, WRITE (*,*) ‘Digite o número de termos (n):’: Essas mensagens solicitam ao usuário que insira o valor do primeiro termo (a), a razão (r) e o número de termos (n) da progressão geométrica.

Lógica principal do programa:

IF (n <= 0) THEN: Esta estrutura condicional verifica se o número de termos (n) é menor ou igual a zero.
WRITE (*,*) ‘O número de termos deve ser maior que zero.’: Se o número de termos for menor ou igual a zero, o programa exibe uma mensagem de erro.
STOP: A instrução STOP encerra a execução do programa.

Mensagem de exibição dos termos da progressão

WRITE (*,*) ‘Os’, n, ‘primeiros termos da Progressão Geométrica são:’: Esta linha de código exibe uma mensagem indicando que os termos da progressão geométrica serão exibidos a seguir.

Laço de repetição para o cálculo e exibição dos valores:

DO i = 1, n: Inicia um laço DO que vai de 1 até n. Isso permitirá que o programa calcule e exiba os primeiros n termos da progressão geométrica.
WRITE (*,*) ‘Termo ‘, i, ‘: ‘, a: Dentro do laço, o programa exibe o número do termo (contado pelo índice i) e o valor do termo atual (a) no console.
a = a * r: O valor do termo atual (a) é multiplicado pela razão (r) para calcular o próximo termo da progressão geométrica.

Finalização do Programa:

O programa atinge o final do laço após calcular e exibir os n termos da progressão, e então é encerrado com a instrução END PROGRAM.

Conclusão

Neste artigo apresentamos uma sugestão de programa em linguagem Fortran que solicita ao usuário o primeiro termo (a) de uma progressão geométrica, a razão (r) e o número de termos (n) desejados. Em seguida, ele verifica se o número de termos é válido, e se for, calcula e exibe os primeiros n termos da progressão geométrica.

Cada termo é calculado multiplicando o termo anterior pela razão r. O programa usa um laço de repetição DO para repetir essa operação e a exibição até que todos os termos sejam processados.

É isso aí! Veja também: Como calcular Fatorial com Fortran.

O post Programa que gera Progressão Geométrica em Fortran apareceu primeiro em Bóson Treinamentos em Ciência e Tecnologia.

Neste tutorial vamos mostrar como criar um script que permite calcular Médias Móveis em Python, sem o emprego da biblioteca de manipulação e análise de dados Pandas (o que faremos em outro tutorial).

Após calcular as médias móveis para um conjunto de valores (fornecido em uma lista), vamos plotar um gráfico usando a biblioteca Matplotlib para visualização dos resultados obtidos.

As Médias Móveis

As médias móveis são uma ferramenta muito utilizadas por comerciantes, investidores e traders como ferramenta de auxílio na análise de tendências de preços e em análise técnica.

Mas o que é uma média móvel?

Uma média móvel é um indicador que mostra o valor médio do preço de um ativo em um período de tempo determinado (série de dados). Conforme o preço do ativo muda ao longo do tempo, seu preço médio aumenta ou diminui, compondo um movimento de valores médios.

Na prática, existem diversos tipos de médias móveis, sendo as cinco mais comuns as seguintes:

• Média Móvel Simples (ou Aritmética)
• Média Móvel Exponencial
• Média Móvel Triangular
• Média Móvel Variável
• Média Móvel Ponderada

Neste tutorial vamos mostrar como criar um script em Python que receba uma série de dados como entrada, e calcule a média móvel simples desse conjunto de valores. As médias móveis simples atribuem peso igual aos valores (preços).

A média móvel mais comum (de longo prazo) leva em consideração um período de 200 dias de dados (39 semanas); para os propósitos deste artigo vamos trabalhar com um conjunto menor de dados, mas o algoritmos pode receber qualquer quantidade de dados como entrada, sem que haja necessidade de alterações no código.

Como calcular a média móvel simples

O cálculo da média móvel simples é exatamente o que se espera de m cálculo de médias: somamos os valores de cada dia, e dividimos o resultado da soma pelo número de dias (média aritmética). O valor é então plotado em um gráfico.

Na sequência, avançamos um dia e somamos o próximo intervalo de valores, calculando a média e plotando no gráfico, e assim sucessivamente, construindo o gráfico das médias móveis.

Por exemplo, para calcular as médias móveis usando intervalos de 50 dias, calculamos a média aritmética dos primeiros 50 dias, avançamos um dia, calculamos a média aritmética dos próximos 50 dias, e assim até atingirmos o intervalo mais recente possível.

Script para determinar médias móveis em Python

Vejamos um exemplo de script que permite calcular as médias móveis para um conjunto de valores fornecido. No caso, vamos passar valores usando uma lista comum em Python, mas os dados podem ser provenientes de qualquer outra fonte, como arquivos .csv, do Excel, de páginas Web, etc.

Vamos usar como intervalo para cálculo das médias o valor de 5 dias (médias de 5 valores), valor armazenado em uma variável que chamaremos de tam_grupo.

"""
Created on Thu Dec 3 12:05:44 2020
@author: Fábio dos Reis
"""
import matplotlib.pyplot as plt

valores = [21.95,21.84,21.9,21.98,21.65,22.11,22.50,22.75,23.21,23.1,23.20,22.78,22.30,23.17,23.24,23.26,23.23,23.13,23.27,23.38,23.42,23.68,23.20,22.84,23.01,23.00,23.11,23.24,23.46,23.27,23.02,22.82,23.31] # cotações diárias

tam_grupo = 5 # deslocamento (uma semana útil)
i = 0
medias_moveis=[]

# Calcular as médias móveis e armazená-las em uma lista:
while i < len(valores) - tam_grupo + 1:
    grupo = valores[i : i + tam_grupo]
    media_grupo = sum(grupo) / tam_grupo
    medias_moveis.append(media_grupo)
    i +=1

# Exibir a lista de médias móveis
for valor in medias_moveis:
    print(round(valor,2))

# Gerar lista com dias do mês
dia_mes = []
for dia in range(1,len(medias_moveis)+1):
    dia_mes.append(dia)

# Visualizar gráfico de médias móveis
plt.style.use('seaborn')
plt.xlabel('Dia')
plt.ylabel('Preço')
plt.title('Médias Móveis')
plt.axis(ymin=21,ymax=24,xmin=0,xmax=30)
plt.plot(dia_mes,medias_moveis,marker='o')
plt.show()

A figura a seguir mostra o gráfico plotado com as médias móveis calculadas a partir dos dados fornecidos na lista de valores:

Gráfico de Médias Móveis em Python

Conclusão

Neste tutorial mostramos como criar um script simples em Python para o cálculo de médias móveis simples. Usamos técnicas de programação como listas, laços de repetição while e for, funções como round() e len(), além da biblioteca para plotagem de gráficos matplotlib / pyplot / seaborn.

Nos próximos tutoriais vamos mostrar como calcular ouros tipos de médias móveis em Python, como a média móvel exponencial e a média móvel ponderada, como adicionar uma linha de tendência ao gráfico de médias móveis, e também como determinar e plotar Bandas de Bollinger.

E também vamos mostrar como usar a biblioteca Pandas para realizar esses tipos de cálculos, de forma ainda mais simplificada.

Até!

O post Calcular Médias Móveis em Python (sem usar Pandas) apareceu primeiro em Bóson Treinamentos em Ciência e Tecnologia.

A linguagem Python possui uma série de bibliotecas para cálculo estatístico que encontram inúmeras aplicações nas áreas de Inteligência Artificial, Ciência de Dados, Machine Learning (Aprendizado de Máquina), Big Data e muitas outras, sendo muito empregadas por quem trabalha nos ramos financeiro, médico, de engenharia e outros.

Estatística Descritiva

Chamamos de Estatística Descritiva ao ramo da matemática que nos permite descrever e sumarizar dados numericamente. Além disso, também é possível ilustrar os dados por meio do emprego de gráficos, histogramas e plotagens diversas.

Tipos de Medidas Estatísticas

Existem vários tipos de medidas estatísticas, sendo que as mais comuns são:

• Medidas de Tendência Central
• Medidas de Dispersão (Variabilidade)
• Medidas de Correlação

Neste tutorial você aprenderá a usar funções para cálculos de medidas de tendência central em Python.

População

Em Estatística, chamamos de População ao conjunto de todos os elementos que nos interessam em uma análise. Porém, é muito comum que as populações sejam conjuntos de dados muito grandes, tornado-se difícil trabalhar com a coleta e análise desses dados.

Por conta disso, é muito comum trabalhar com um subconjunto representativo de uma população, que chamamos de Amostra, a qual preserva as características estatísticas da população de modo a poder representá-la, com uma quantidade menor de dados.

Medidas de Tendência Central

As Medidas de Tendência Central em Estatística mostram os valores centrais de um conjunto de dados (população). Vamos trabalhar com as seguintes medidas de tendência central em Python nesta lição:

• Média Aritmética
• Média Harmônica
• Mediana
• Moda

Bibliotecas Estatísticas em Python

Em Python temos diversas bibliotecas para cálculo estatístico, e faremos uso neste tutorial das seguintes, que são as mais empregadas atualmente:

• statistics – Biblioteca embutida (built-in) usada para estatística descritiva.
• NumPy – Biblioteca de terceiros usada para computação numérica, altamente otimizada para o trabalho com arrays de uma ou múltiplas dimensões. Possui várias funções para análise estatística.
• SciPy – Outra biblioteca de terceiros, usada em Computação Científica, baseada na biblioteca NumPy. Acrescenta funcionalidade ao NumPy, incluindo funções estatísticas de análise.
• Matplotlib – Biblioteca de terceiros usada para visualização de dados. Pode trabalhar em conjunto com as biblitecas estatísticas citadas.

Importante: Você precisa ter as bibliotecas Scipy e Numpy instaladas para poder executar diversos métodos apresentados aqui. Caso não as tenha, abra um prompt de comandos (no Windows) e execute os comandos a seguir:

python -m pip install
pip3 install scipy

Estes comandos devem instalar as duas bibliotecas necessárias. Se estiver usando Linux (Debian, Ubuntu, etc.), rode:

sudo apt install python3-pip
sudo pip3 install scipy

Imports

Vamos precisar importar os módulos Scipy e Numpy para podermos executar algumas das funções estatísticas, além do módulo Math para efetuar alguns cálculos matemáticos (fórmulas). Também trabalharemos com o módulo padrão statistics. Para importar os módulos necessários, use as seguintes declarações:

import statistics
import math
from scipy import stats
import numpy
from collections import Counter

Lista de valores

Vamos trabalhar com listas de valores numéricos e de strings para estudar as funções estatísticas. Essas listas serão nossas amostras. Para criar as listas, usaremos as instruções a seguir:

lista = [2,5,7,4,1,9,5,9,2,6,7,9,4,3,5,7]
listaFrutas = ['banana','laranja','maçã','abacate','laranja','melão']

Assim criamos duas listas: uma de números e outra com nomes de frutas (string).

Média Aritmética em Python

Média aritmética, ou simplesmente Média, é simplesmente a soma de todos os valores em uma amostra, dividida pela quantidade de itens somados. Por exemplo, a média aritmética dos valores do conjunto {10, 20, 30, 20} é igual a (10 + 20 + 30 + 20) / 4 = 80 / 4 = 20.

Em Python, podemos usar a função statistics.mean(lista) para calcular a média aritmética dos valores presentes em uma lista. Vejamos um exemplo:

media = statistics.mean(lista)
print("Média aritmética: ", media)

Resultado:

Média aritmética: 5.3125

Média Harmônica em Python

A Média Harmônica é um tipo especial de média, usada sempre que a série de dados apresentar uma relação inversa entre os dados, por exemplo quando precisamos calcular a velocidade média, pois conforme a velocidade aumenta, o tempo relacionado diminui.

Equivale ao inverso da média aritmética, porém com os dados invertidos. A fórmula a seguir pode ser usada para calcular a média harmônica H matematicamente:

Em Python, podemos usar a função statistics.harmonic_mean(lista) para calcular a média harmônica dos valores presentes em uma lista. Vejamos um exemplo:

mediaHarmonica = statistics.harmonic_mean(lista)
print("Média harmônica: ", mediaHarmonica)

Resultado:

Média harmônica: 3.66812227074235

Mediana em Python

Em Python, podemos usar a função statistics.median(lista) para calcular a mediana dos valores presentes em uma lista. Vejamos um exemplo:

mediana = statistics.median(lista)
print("Mediana: ", mediana)

Resultado:

Mediana: 5.0

Moda em Python

Suponha a seguinte lista de items:

listaItens = ["SP", "RJ","MG","SP","TO","RS","SC","SP","SC"]

Qual valor aparece mais vezes na lista? Podemos descobri-lo determinando a moda do conjunto de valores, como segue:

moda = statistics.mode(listaItens)
print(moda)

Resultado

SP

Também podemos descobrir a moda do conjunto de valores com a função stats.mode(), do módulo Scipy, como segue:

moda = stats.mode(listaItens)
print(moda)

Resultado:

ModeResult(mode=array(['SP'], dtype='<U2'), count=array([3]))

Este exemplo retornou uma distribuição monomodal. O que acontece se nosso conjunto de valores possuir mais de uma moda? Vamos testar com nossa lista original:

lista = [2,5,7,4,1,9,5,9,2,6,7,9,4,3,5,7]
moda = statistics.mode(lista)
print(moda)

Resultado:

5

Note que apenas um valor foi retornado, porém em nosso conjunto de valores existem 3 números que aparecem com mais frequência: 5, 7 e 9, todos aparecendo três vezes. Assim,  a função statistics.mode() retornou apenas o primeiro valor do conjunto multimodal. Para que seja possível retornar todos os valores de moda, devemos usar a função statistics.multimode(), com segue:

lista = [2,5,7,4,1,9,5,9,2,6,7,9,4,3,5,7]
moda = statistics.multimode(lista)
print(moda)

Resultado

[5, 7, 9]

A função retornou uma lista de valores com as modas obtidas. Note que a função statistics.multimode somente está disponível no Python a partir de sua versão 3.8.

Contar Ocorrências de Valores em uma Lista

Podemos contar o número de ocorrências de cada valor em uma lista usando a função Counter(lista):

print(Counter(lista)) #contar ocorrências de valores em uma lista

Resultado:

Counter({5: 3, 7: 3, 9: 3, 2: 2, 4: 2, 1: 1, 6: 1, 3: 1})

Note que não se trata da contagem de quantos itens uma lista possui, mas sim a quantidade de cada item armazenado na lista. O cálculo de ocorrências é útil para a criação de algoritmos que, por exemplo, calculem a moda de uma população, sem a necessidade de empregar funções pré-existentes – às vezes, não é possível importar determinadas bibliotecas e, quando isso ocorre, é necessário escrever um algoritmo próprio. Veremos como fazer isso em outra lição.

No próximo tutorial continuaremos a estudar Estatística Descritiva com Python, abordando as medidas de dispersão, que incluem o cálculo de Variância e Desvio-Padrão.

O post Medidas de Tendência Central: Média, Moda e Mediana em Python apareceu primeiro em Bóson Treinamentos em Ciência e Tecnologia.

Neste artigo vamos estudar as operações aritméticas básicas com números complexos: adição, subtração, conjugado, multiplicação e divisão.

1 – Adição de Números Complexos

Para somar dois números complexos devemos adicionar cada parte separadamente, conforme o padrão:

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

Exemplo:

Adicionar 4 + 2i e 1 + 9i:

(4 + 2i) + (1 + 9i) =
4 + 1 + (2 + 9)i = 
5 + 11i

2 – Multiplicação de Números Complexos

Cada parte do primeiro número complexo é multiplicada por cada parte do segundo número complexo, desta forma:

(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi2

Exemplo:

(2 + 3i)x(1 + 8i) = 
2x1 + 2x8i + 3ix1 + 3ix8i = 
2 + 16i + 3i + 24i2 = 
2 + 16i + 3i -24 (i2 = -1) = 
-22 + 19i

3 – Subtração de Números Complexos

Para subtrair um número complexo de outro, subtraímos cada parte separadamente:

(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i

Exemplo: Efetuar (3 + 5i) – (1 + 3i):

(3 + 5i) - (1 + 3i) =
3 - 1 + (5 - 3)i = 
2 + 2i

4 – Obter o conjugado de um número complexo

O conjugado de um número complexo nada mais é do que o número com o sinal trocado em sua parte imaginária. Por exemplo, o conjugado de 2 + 7i é 2 – 7i.

O conjugado é empregado, por exemplo, para auxiliar na operação de divisão entre números complexos, como veremos a seguir.

5 – Divisão de Números Complexos

A divisão de complexos é um processo ligeiramente mais “complexo”. Por exemplo, vamos dividir o complexo 5 + 2i por 7 + 4i:

1. O primeiro passo é determinar o conjugado do denominador:
Conjugado de 7 + 4i = 7 -4i

2. Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:

Devemos lembrar que i² = -1:Finalmente, juntamos os termos semelhantes e simplificamos:

É isso aí! No próximo artigo mostraremos como plotar números complexos em um gráfico no plano cartesiano. Até!

Referências

Laforest, M. The Mathematics of Quantum Mechanics. University of Waterloo. 2015.

O post Operações Básicas com Números Complexos apareceu primeiro em Bóson Treinamentos em Ciência e Tecnologia.

Os números, tais como conhecemos e usamos no dia-a-dia, incluindo valores como 15, -25, 0,67, √6, 97/13 e π, são conhecidos como números reais. Denotamos a família de números reais com o símbolo ℝ.

Uma característica dos números reais é de que quando um número real é elevado ao quadrado sempre obtemos um resultado positivo, independente do número em si ser positivo ou negativo. Assim, 5² = 25 e -5² = 25 também.

Em algumas circunstâncias, precisamos fazer cálculos para os quais os números reais não são suficientes – por exemplo, o cálculo pode ser extremamente complicado de se realizar, o até mesmo impossível.

Um exemplo clássico e banal é o cálculo das raízes de uma equação do segundo grau, na forma ax²+bx+c = 0, que é resolvida com a seguinte fórmula:

O problema é que, às vezes, o valor de b²-4ac é um número negativo, e precisamos calcular a raiz quadrada desse número na fórmula. Mas, como calcular raízes de números negativos? No domínio dos números reais isso é impossível.

Isso significa então que esse tipo de equação pode não ter solução? Não. Na verdade, é possível resolver a equação, mesmo com raízes de números negativos – desde que usemos o conceito de números complexos.

O que é um número complexo

Para entendermos o que é um número complexo vamos realizar algumas definições.

Números imaginários: são números que, ao serem elevados ao quadrado, retornam um resultado negativo..

Por exemplo: o valor 

é imaginário porque, ao ser elevado ao quadrado, retorna o valor -20.

Número unitário imaginário: Definimos o número unitário imaginário i como sendo a raiz quadrada de -1, ou seja:

Isso significa que se elevarmos i ao quadrado, obteremos o valor -1, ou seja:

i² = -1

Exemplos de números imaginários:

• 3i
• 3,4i
• 4i/5
• -63i
• (√5)i

Números Complexos: Um número complexo z é uma combinação de um número real com um número imaginário, escrito no formato:

z = a + bi

onde a é a parte real do número, e bi é a parte imaginária (b é um número real), representadas por Re() e Im(), como segue:

Re(z) = a
Im(z) = bi

Exemplos de números complexos:

• 2 + i
• 22 + 3i
• 3,4 – 6i
• -5 + 0,5i
• 0 + 12i

Na prática, um número real nada mais é que um número complexo, porém sem sua parte imaginária. Denotamos o conjunto dos números complexos por ℂ e, assim, podemos dizer que:

ℝ ⊂ ℂ

que significa: “ℝ está contido em ℂ“

Da mesma forma, um número imaginário é um número complexo, porém sem sua parte real.

Aplicações dos números complexos

Os números complexos encontram diversas aplicações, em inúmeras áreas, tais como:

• Eletromagnetismo
• Mecânica quântica
• Processamento de sinais
• Cartografia
• Geometria
• Química
• Cálculo de Circuitos Elétricos

e muitas outras.

Exemplo

Vamos resolver a equação de segundo grau (quadrática) x² + 5x + 10 = 0.

Resolução:

Como pudemos ver, mesmo nos deparando com uma raiz de número negativo na equação (raiz de -15), foi possível resolver o problema no domínio dos números complexos.

Na próxima lição vamos apresentar diversas operações aritméticas que podem ser realizadas com os números complexos, tais como soma, multiplicação e divisão, entre outras.

Referências

Laforest, M. The Mathematics of Quantum Mechanics. University of Waterloo. 2015.

O post Introdução aos Números Complexos apareceu primeiro em Bóson Treinamentos em Ciência e Tecnologia.

É possível realizar o cálculo da raiz quadrada de um número qualquer em Python de várias maneiras. Vamos mostrar neste tutorial três formas de realizar esse tipo de operação em um script.

#1: Raiz quadrada com o método sqrt()

O método sqrt() pertence ao módulo math, e esta é a forma mais recomendada para realizar o cálculo de uma raiz quadrada em Python.

import math
num = float(input("Entre com um número:\n"))
raiz = math.sqrt(num)
print(f'\nA raiz quadrada de {num} é {raiz}\n')

Resultado:

Entre com um número: 25
A raiz quadrada de 25.0 é 5.0

Note que precisamos converter o valor digitado pelo usuário para float antes de armazená-lo na variável num, para usá-lo no cálculo posterior.

#2: Raiz quadrada com o método pow()

Outra forma de calcular a raiz quadrada de um número em Python é com o emprego da função matemática pow(). Basta empregarmos esta função para elevar o número à potência de 1/2 (0.5) e obteremos sua raiz.
O método pow() também pertence ao módulo math.

import math
num = float(input("Entre com um número:\n"))
raiz = math.pow(num, 1/2)
print(f'\nA raiz quadrada de {num} é {raiz}\n')

Resultado:

Entre com um número: 49
A raiz quadrada de 49.0 é 7.0

Recomendamos o método sqrt() ao método pow() para este tipo de cálculo, pela simplicidade e precisão.

#3: Raiz quadrada com o operador **

Podemos também empregar o operador de exponenciação ** para calcular a raiz quadrada de um número, elevando o número em questão à potência de 1/2 (0.5):

num = input("Digite um número:\n")
raiz = float(num) ** 0.5
print(f'\nA raiz quadrada de {num} é {raiz}\n')

Resultado:

Entre com um número: 81
A raiz quadrada de 81.0 é 9.0

Bônus: Raiz quadrada de números complexos

Podemos também calcular a raiz quadrada de um número complexo em Python usando o método sqrt() do módulo cmath (especial para matemática com números complexos).
Veja o exemplo a seguir:

import cmath
num = 1+2j
raiz = cmath.sqrt(num)
print('\nA raiz quadrada de {num} é {raiz:.2f}\n')

Resultado:

A raiz quadrada de (1+2j) é 1.27+0.79j

É isso aí! Até o próximo tutorial de Matemática com Python! 

O post Como calcular a raiz quadrada de um número em Python apareceu primeiro em Bóson Treinamentos em Ciência e Tecnologia.

Neste tutorial vamos mostrar como trabalhar com números complexos de forma básica usando a linguagem Python.

Números complexos possuem inúmeras aplicações, como por exemplo nas áreas de mecânica quântica, eletromagnetismo,  cartografia, processamento de sinais, geometria e diversas outras.

Mas o que são números complexos?

Na matemática, podemos classificar os números em duas categorias, os números reais e os números imaginários.

Um número real é aquele que, quando elevado ao quadrado sempre retorna um valor de sinal positivo, independente do número ser positivo ou negativo.

Por exemplo, 5 é um número real, pois 5² = 25 (positivo).
Outros exemplos de números reais:

-3 (-3² = 9)
1/2
34,23

Já números imaginários são números que, ao serem elevados ao quadrado, retornam um resultado negativo.
O número imaginário unitário é i, que simboliza a raiz quadrada de -1. Assim:

i2 = -1

Um número complexo z é a combinação de um número real com um número imaginário.
Assim, temos que:

z = a + bi

onde a é a parte real do número, e bi é a parte imaginária do número.

Exemplos de números complexos:

2 + 4i
-6 + 13i
7 – 5i
0.5 + 2.3i

Números Complexos em Python: o tipo complex

Para declarar uma variável do tipo complex (número complexo), basta atribuir-lhe um valor no formato x + yj. Por exemplo, vamos atribuir o número complexo 3+4j à variável x:

x = 3 + 4j

Note que em Python usamos a letra j para denotar a parte imaginária do número, em vez da letra i, que é usual na matemática convencional (a letra j é empregada em disciplinas de engenharia elétrica e física).
Podemos verificar o tipo da variável x com a função type(): 

type(x)
<class 'complex'>

Outra forma de criar um número complexo é com o emprego da função complex(x,y), que recebe dois parâmetros:

x: Valor da parte real do número complexo
y: Valor da parte imaginária do número complexo

Suponha que você quer criar a variável y, atribuindo-lhe o número complexo 5+2j. Usando a função complex() você pode simplesmente executar:

y = complex(5,2)

E então verificar o tipo da variável:

type(y)
<class 'complex'>

Verifique o conteúdo da variável também:

print(y)
(5+2j)

Operações com números complexos em Python

A linguagem Python nos permite realizar diversas operações usando números complexos, como soma, subtração, multiplicação e divisão, entre outras.

Vejamos alguns exemplos dessas operações básicas.

1 – Definir números complexos para usar nos exemplos de cálculos

a = 1+2j
b = complex(3,4)

2 – Soma de números complexos:

print(a + b)
(4+6j)

3 – Subtração de números complexos:

print(a - b)
(-2-2j)

4 – Multiplicação de números complexos:

print(a * b)
(-5+10j)

5 – Divisão de números complexos:

print(a / b)
(0.44+0.08j)

6 – Podemos obter as partes real e imaginária do número complexo acessando as propriedades real e imag do número, respectivamente:

print(a.real)
print(a.imag)
1.0
2.0

7 – Obter o Conjugado: Um conjugado possui a mesma parte real, porém uma parte imaginária de igual magnitude e sinal oposto. Para calculá-lo usamos o método conjugate():

print(b.conjugate())
(3-4j)

É isso aí! Neste tutorial introduzimos o conceito de números complexos em Python, e apresentamos algumas operações básicas que podem ser realizadas na linguagem. Na parte 2 deste tutorial vamos abordar o modulo cmath, que permite realizar diversas outras operações com números complexos, como cálculos de fase, conversão entre formas polar e retangular, uso de funções trigonométricas e hiperbólicas, funções de classificação, e muito mais.

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Dispersão

Usamos o termo dispersão para indicar o grau de afastamento de um grupo de valores em relação à sua média aritmética (do conjunto).

Amplitude

Definimos a amplitude como sendo a diferença entre o maior e o menor valor em um intervalo de valores. Por exemplo, se tivermos um conjunto de valores ordenados, no qual o menor valor é 15 e o maior valor é 45, teremos uma amplitude de 45 – 15 = 30.

Essa amplitude nos dá uma noção do quão afastados estão o maior e o menor valores, porém não nos traz informações sobre os demais elementos do conjunto de dados.

Intervalo Interquartil

A amplitude geralmente é afetada quando existem valores muito grandes ou muito pequenos presentes no intervalo. Podemos diminuir o impacto desse problema usando o intervalo interquartil, que se obtém ignorando-se os quartis superior e inferior dos dados. Um quartil equivale a 1/4 dos valores, ou 25%.

Podemos calcular o intervalo interquartil usando o método a seguir:

1. Primeiramente, coloque os dados em ordem (crescente).
2. Determine o valor onde 1/4 dos demais valores estejam abaixo dele – chamamos esse valor de primeiro quartil (ou ainda, 25º percentil).
3. Encontre o valor onde 3/4 dos demais valores estejam abaixo dele – chamamos a esse valor de terceiro quartil (ou ainda, 75º percentil).
4. Agora calcule a diferença entre esses valores.

Exemplo: Seja o conjunto de valores a seguir (já ordenados):

1 3 4 6 7 8 10 15 16 17 18 20 21 22 25 28

Dividimos o intervalo em quatro partes:

Temos então que o primeiro quartil é o número 7, e o terceiro quartil é o número 21. O intervalo interquartil é a amplitude entre esses dois valores, portanto é igual a 21 – 7 = 14.

Desvio Médio Absoluto

É uma medida de dispersão que leva em consideração todos os valores de dados considerados. Basicamente, o desvio médio absoluto nos diz o quão afastado da média cada valor está.

Calculamos o desvio médio absoluto com a fórmula a seguir:

ou seja, subtraímos a média de cada valor individual, usando o valor absoluto de cada diferença, somando-os e dividindo o resultado pelo número de valores utilizados.

Exemplo: Calcular o desvio médio absoluto do conjunto de dados a seguir:

22 23 20 24 26 24 29

Vamos ordenar os sete valores e calcular a distância de cada um em relação à média do conjunto, que é 24:

Aplicando a fórmula do desvio médio absoluto temos:

Variância

Geralmente elevamos ao quadrado cada valor de desvio e calculamos o valor médio desses quadrados, em vez de usar simplesmente o desvio médio absoluto como medida de dispersão. Damos a essa medida o nome de variância.

Simbolizamos a variância como σ² (sigma ao quadrado), e a fórmula para o cálculo da variância é a seguinte:

Essa fórmula é bem parecida com a fórmula do desvio médio absoluto, mas usando os quadrados dos números em vez de seus valores absolutos.

Exemplo: Vamos calcular a variância do exemplo utilizado anteriormente, no tópico sobre desvio médio absoluto:

Calculando a variância:

Desvio-Padrão

No geral, usamos uma medida de dispersão chamada de Desvio-Padrão, que dá uma idéia mais clara do tamanho da dispersão dos dados. O desvio-padrão nada mais é do que a raiz quadrada da variância. Assim:

O símbolo do desvio-padrão é a letra grega sigma (σ).

Exemplo: Aplicando o cálculo do desvio-padrão ao nosso exemplo anterior, teremos:

que é um valor de dispersão mais claro que a variância e mais preciso que o desvio médio absoluto.

Coeficiente de variação

Podemos verificar se a dispersão é muito grande em relação à média, calculando o Coeficiente de Variação, que é a razão entre o desvio-padrão e a média:

Aplicando-se essa fórmula ao exemplo usado no artigo:

Portanto o coeficiente de variação do conjunto de dados apresentado é de 11,12%.

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Estatística Descritiva – Medidas de Tendência Central

As médias são valores representativos de um conjunto de dados. Esses valores possuem a tendência de se localizarem em um ponto central, dentro do conjunto de dados, e por isso as médias são chamadas de Medidas de Tendência Central.

Existem vários tipos de médias que podem ser calculadas, sendo as mais comuns a média aritmética (ou somente média), a mediana, a moda, a média geométrica e a média harmônica. Cada uma delas tem suas aplicações específicas, vantagens e desvantagens de uso. Nesta lição trataremos dos três primeiros tipos: Média (aritmética), Moda e Mediana.

Média (ou Média Aritmética)

Indicada por  (“x barra”), pode ser calculada como:

Onde x₁, x₂, etc, são os números para os quais queremos calcular a média. Podemos também usar a notação de somatório para representar o valor médio:

O que significa “a média é igual ao somatório dos números sobre n”. Já o somatório de x é dado por:

O que significa “somatório dos números de x₁ até x_n“.

Exemplo: Dado o conjunto de notas a seguir, calcule a média da disciplina para um aluno do curso de Matemática:

A média das quatro notas será dada por:

Média = (8 + 7,4 + 6,2 + 8,8) / 4 = 30,4 / 4 = 7,6

Mediana

Trata-se do ponto (ou elemento) a meio caminho na escala de dados, ou seja, metade dos valores está acima da mediana e a outra metade está abaixo.

Para calcular a mediana, devemos primeiramente ordenar a lista de números considerados (rol). Por exemplo, seja a lista de valores numéricos a seguir:

20 35 19 24 55 18 17 20 23

Ordenando essa lista, teremos:

17 18 19 20 20 23 24 35 55

A mediana desse conjunto de valores é 20, pois há quatro números abaixo e quatro números acime desse valor que, portanto, é o ponto central.

Se tivermos um número par de valores, poderemos descobrir a mediana calculando a média entre os dois números centrais. Por exemplo, no conjunto de valores a seguir:

17 19 20 22 27 29

os dois números centrais são 20 e 22. A mediana será então (20 +22) / 2 = 21.

Quando uma relação de valores contém um número muito afastado dos outros da lista, a média não é uma medida muito representativa. Veja o exemplo a seguir, onde temos listados os valores dos salários dos funcionários de uma empresa, de acordo com o cargo:

O valor médio dos salários dessa empresa será 19800 / 5 = R$ 3960,00. Porém, note que todos os funcionários, à exceção do presidente, recebem bem menos do que isso – cerca da metade do valor médio. Portanto, a média aritmética não mostra com clareza o que ocorre nesse caso.

Para termos uma idéia melhor dos salários pagos pela empresa, podemos usar então a mediana. Vamos ordenar a lista de salários e descobrir sua mediana:

1900 2000 2100 2300 11500

A mediana (valor central) é R$ 2100,00, sendo essa uma medida de tendência central bem melhor, nesse caso.

A mediana é, em essência, a média aritmética dos valores centrais do rol considerado.

Moda

A moda é o valor que ocorre com maior frequência em um conjunto de valores (valor mais comum). Se houver mais de um valor nessa condição, chamamos a todos eles de modas. Uma distribuição com duas modas é chamada de bimodal. Já a distribuição que possui apenas uma única moda é denominada unimodal.

Exemplo: Dado o conjunto de valores a seguir, descubra sua moda:

17 18 19 20 20 23 24 35 55

A moda nesse exemplo é o número 20, pois esse valor aparece duas vezes no conjunto.

Quando nenhum valor ocorre mais de uma vez, não existe a moda para o conjunto considerado.

É isso aí! Vimos nesse artigo algumas medidas de tendência central, e na próxima lição estudaremos as medidas de dispersão, como o Desvio Padrão. Até mais!

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