Introdução ao Números complexos
Os números, tais como conhecemos e usamos no dia-a-dia, incluindo valores como 15, -25, 0,67, √6, 97/13 e π, são conhecidos como números reais. Denotamos a família de números reais com o símbolo ℝ.
Uma característica dos números reais é de que quando um número real é elevado ao quadrado sempre obtemos um resultado positivo, independente do número em si ser positivo ou negativo. Assim, 52 = 25 e -52 = 25 também.
Em algumas circunstâncias, precisamos fazer cálculos para os quais os números reais não são suficientes – por exemplo, o cálculo pode ser extremamente complicado de se realizar, o até mesmo impossível.
Um exemplo clássico e banal é o cálculo das raízes de uma equação do segundo grau, na forma ax2+bx+c = 0, que é resolvida com a seguinte fórmula:
O problema é que, às vezes, o valor de b2-4ac é um número negativo, e precisamos calcular a raiz quadrada desse número na fórmula. Mas, como calcular raízes de números negativos? No domínio dos números reais isso é impossível.
Isso significa então que esse tipo de equação pode não ter solução? Não. Na verdade, é possível resolver a equação, mesmo com raízes de números negativos – desde que usemos o conceito de números complexos.
O que é um número complexo
Para entendermos o que é um número complexo vamos realizar algumas definições.
Números imaginários: são números que, ao serem elevados ao quadrado, retornam um resultado negativo..
Por exemplo: o valor
é imaginário porque, ao ser elevado ao quadrado, retorna o valor -20.
Número unitário imaginário: Definimos o número unitário imaginário i como sendo a raiz quadrada de -1, ou seja:
Isso significa que se elevarmos i ao quadrado, obteremos o valor -1, ou seja:
i2 = -1
Exemplos de números imaginários:
- 3i
- 3,4i
- 4i/5
- -63i
- (√5)i
Números Complexos: Um número complexo z é uma combinação de um número real com um número imaginário, escrito no formato:
z = a + bi
onde a é a parte real do número, e bi é a parte imaginária (b é um número real), representadas por Re() e Im(), como segue:
Re(z) = a
Im(z) = bi
Exemplos de números complexos:
- 2 + i
- 22 + 3i
- 3,4 – 6i
- -5 + 0,5i
- 0 + 12i
Na prática, um número real nada mais é que um número complexo, porém sem sua parte imaginária. Denotamos o conjunto dos números complexos por ℂ e, assim, podemos dizer que:
ℝ ⊂ ℂ
que significa: “ℝ está contido em ℂ“
Da mesma forma, um número imaginário é um número complexo, porém sem sua parte real.
Aplicações dos números complexos
Os números complexos encontram diversas aplicações, em inúmeras áreas, tais como:
- Eletromagnetismo
- Mecânica quântica
- Processamento de sinais
- Cartografia
- Geometria
- Química
- Cálculo de Circuitos Elétricos
e muitas outras.
Exemplo
Vamos resolver a equação de segundo grau (quadrática) x2 + 5x + 10 = 0.
Resolução:
Como pudemos ver, mesmo nos deparando com uma raiz de número negativo na equação (raiz de -15), foi possível resolver o problema no domínio dos números complexos.
Na próxima lição vamos apresentar diversas operações aritméticas que podem ser realizadas com os números complexos, tais como soma, multiplicação e divisão, entre outras.
Referências
Laforest, M. The Mathematics of Quantum Mechanics. University of Waterloo. 2015.